Question

已知函數f（x）=ax³+bx²的圖象經過點M（1，4），曲線在點M處的切線恰好與直線x+9y=0垂直．
（1）求實數a，b的值；
（2）若函數f（x）在區間[m，m+1]上單調遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將M的坐標代入f（x）的解析式，得到關于a，b的一個等式；求出導函數，求出f′（1）即切線的斜率，利用垂直的兩直線的斜率之積為-1，列出關于a，b的另一個等式，解方程組，求出a，b的值．
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函數的單調遞增區間，據題意知[m，m+1]⊆（-∝，-2]∪[0，+∝），列出端點的大小，求出m的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²的圖象經過點M（1，4），∴a+b=4①式 …（1分）
f'（x）=3ax²+2bx，則f'（1）=3a+2b…（3分）
由條件f′(1)•(-

1

9

)=-1，即3a+2b=9②式…（5分）
由①②式解得a=1，b=3
（2）f（x）=x³+3x²，f'（x）=3x²+6x，
令f'（x）=3x²+6x≥0得x≥0或x≤-2，…（8分）
∵函數f（x）在區間[m，m+1]上單調遞增
∴[m，m+1]⊆（-∝，-2]∪[0，+∝）
∴m≥0或m+1≤-2
∴m≥0或m≤-3

點評：注意函數在切點處的導數值是曲線的切線斜率；直線垂直的充要條件是斜率之積為-1．