Question

f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）．
（1）若a=1，求f（x）的單調區間及f（x）的最小值；
（2）若a＞0，求f（x）的單調區間；
（3）試比較

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

與

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

的大小．（n∈N^*且n≥2），并證明你的結論．

Answer 1

（1）a=1，f（x）=|x-1|-lnx
當x≥1時，f（x）=x-1-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

≥0
∴f（x）在區間[1，+∞）上是遞增的．
（2）x＜1時，f（x）=x-1-lnx，f′（x）=1-

1

x

＜0
∴f（x）在區間（0，1）減的．
故a=1時f（x）在[1，+∞）上是遞增的，減區間為（0，1），f（x）_min=f（1）=0
a≥1  x＞a f（　x　）=x-a-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

≥0
f（x）在[a，+∞）上是遞增的，
0＜x＜a，f（x）=-x+a-lnx，f′（x）=-1-

1

x

＜0
∴f（x）在   （0，a）遞減函數，
0＜a＜1，x≥af（x）=x-a-lnx
f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0
f（x）在[1，+∞）遞增函數f（x）在[a，1）遞減函數
0＜x＜a 時 f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-

1

x

＜0
∴f（x） 在  （0，a）遞減函數
f（x）在[1，+∞）遞減函數，（0，1）遞減函數．
a≥1 時 f（x）在[a，+∞），（0，a）增函數．
0＜a＜1 時 f（x）在[1，+∞），（0，1）增函數．
（3）當a=1  x＞1 時 x-1-lnx＞0 

lnx

x

＜ 1-

1

x

∴

ln22

22

+

ln32

32

+ …+

lnn2

n2

＜1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

2

n2

=n-1-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＜n-1-（

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

）=n-1-（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=n-1-（

1

2

-

1

n+1

）=

(n-1)(2n+1)

2(n+1)