Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數的單調性；

（2）若存在直線，使得對任意的，，對任意的，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）.

【解析】

(1)對函數求導，分，兩種情況討論即可；

(2)先由可轉化為二次不等式的恒成立問題，然后構造函數，轉化為對任意的，恒成立問題，即可求解.

（1）函數的定義域為.

（i）若，則；

（ii）若，則由得，由得；

綜上：當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）設存在直線滿足題意.

（i）由，即對任意的都成立，得，所以，

（ii）令，

，

①若，則，單調遞增，，不合題意；

②若，則在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，

所以，即，

由（i）得，

即，

令，，

，所以單調遞增，

又因為，所以在是單調遞減，是單調遞減，所以，所以.