Question

（本小題滿分12分）已知函數和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、．
（1）求證：為關于的方程的兩根；
（2）設，求函數的表達式；
（3）在（2）的條件下，若在區間內總存在個實數（可以相同），使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意可知：
∵  ，  ……………………………2分
∴切線的方程為：，
又切線過點，有，
即， ①
同理，由切線也過點，得．②
由①、②，可得是方程（ * ）的兩根……………………………4分
（2）由（ * ）知．
，
∴．……………………………8分
（3）易知在區間上為增函數，
，
則．……………………10分
即，即，
所以，由于為正整數，所以．
又當時，存在，滿足條件，
所以的最大值為．     …………12分

解析