Question

【題目】已知橢圓，設為橢圓上一點，且 .

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，，是否存在以為直角頂點的內接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，請求出共有幾個？若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（II）存在個，理由見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據橢圓定義及性質知，，在焦點三角形中，由余弦定理得：，得：，再有，得：；（Ⅱ）先分析特殊情況，當中一個斜率為零，一個斜率不存在顯然不符合題意， 設，不妨設，聯立直線和橢圓，利用直線和橢圓的位置關系得，從而，根據,可得：，化簡求解，故存在個．

試題解析：（Ⅰ）設，由橢圓定義得，

設橢圓的半焦距為，則，

對由余弦定理得

，

解得，

又，結合得.

（Ⅱ）當中一個斜率為零，一個斜率不存在顯然不符合題意，

設，不妨設，

聯立直線和橢圓方程得，

解得兩根為，

所以，由，得

把中的換成，可得

由的，結合化簡得，整理得解得，均符合，

所以符合條件的的個數有個.