Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若存在正數(shù)，對(duì)于任意的，不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)可得， ，根據(jù)的取值情況進(jìn)行討論可得函數(shù)的單調(diào)性．（Ⅱ）在（Ⅰ）中結(jié)論的基礎(chǔ)上分和兩種情況討論求解，首先探求得到區(qū)間，通過(guò)對(duì)函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)性的討論進(jìn)一步得到的符號(hào)，進(jìn)而將不等式去掉絕對(duì)值后進(jìn)行討論分析、排除，然后得到所求的范圍即可．

試題解析

（Ⅰ）由題意得， ，

因?yàn)?/span>，所以．

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí) 單調(diào)遞減；

由得，此時(shí) 單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.

（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，

由（Ⅰ）可得在內(nèi)單調(diào)遞增，且，

所以對(duì)于任意的， .

這時(shí)可化為，即.

設(shè)，

則，

令，得，

所以在單調(diào)遞減，且，

所以當(dāng)時(shí)， ，不符合題意．

②當(dāng)時(shí)，

由（Ⅰ）可得在內(nèi)單調(diào)遞減，且，

所以存在，使得對(duì)于任意的都有.

這時(shí)可化為，即.

設(shè)，則.

（i）若，則在上恒成立，

這時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞減，且，

所以對(duì)于任意的都有，不符合題意.

（ii）若，令，得，

這時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增，且，

所以對(duì)于任意的，都有，

此時(shí)取，則對(duì)于任意的，不等式恒成立.

綜上可得的取值范圍為.