Question

【題目】設(shè)橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且，若過， ， 三點(diǎn)的圓恰好與直線相切．過定點(diǎn)的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)， 之間）．

（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（1）由題意，得橢圓方程為.；（2）設(shè)直線方程為，，所以，利用韋達(dá)定理，就出的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以為的中點(diǎn).設(shè)的坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>，所以，，

且過三點(diǎn)的圓的圓心為，半徑為.因?yàn)樵搱A與直線相切，所以.

解得，所以，.

故所求橢圓方程為.

（Ⅱ/span>）①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，

設(shè)直線方程為，代入橢圓方程

得.

由，得.設(shè)，，

則，.

又，所以.所以.

所以，.

所以.所以.

整理得.因?yàn)?/span>，所以，即.所以.

解得且.

又，所以.

②又當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，

此時(shí)，，，，

，所以.

所以，即所求的取值范圍是