Question

【題目】如圖，是正方形，點在以為直徑的半圓弧上（不與，重合），為線段的中點，現將正方形沿折起，使得平面平面.

（1）證明：平面.

（2）三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用面面垂直的性質定理證得平面，由此證得，根據圓的幾何性質證得，由此證得平面.

（2）判斷出三棱錐的體積最大時點的位置.建立空間直角坐標系，通過平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.

（1）證明：因為平面平面是正方形，

所以平面.

因為平面，所以.

因為點在以為直徑的半圓弧上，所以.

又，所以平面.

（2）解：顯然，當點位于的中點時，的面積最大，三棱錐的體積也最大.

不妨設，記中點為，

以為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

設平面的法向量為，

則令，得.

設平面的法向量為，

則令，得，

所以.

由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.