Question

（2009•南匯區二模）1+i是實系數方程x²-ax-b=0的一個虛數根，則直線ax+by=1與圓C：x²+y²=1交點的個數是（　　）

A．2

B．1

C．0

D．以上都可能

Answer 1

分析：根據韋達定理表示出兩根之和與兩根之積，由方程的一個虛根1+i，得到另一根，進而求出a與b的值，確定出直線的方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離d，判斷d與圓半徑r的大小關系，可得出直線與圓的位置關系，即可得到直線與圓交點的個數．

解答：解：由韋達定理（一元二次方程根與系數關系）可得：
x₁+x₂=a，x₁•x₂=-b
∵b，c∈R，
x₁=1+i，∴x₂=1-i，
∴a=2，b=2，
∴直線方程為2x+2y=1，
由圓心（0，0）到直線的距離d=

|1|

2 2

=

2

4

＜r=1，
得到直線與圓的位置關系是相交，
則直線與圓的交點個數是2個．
故選A

點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系，點到直線的距離公式以及直線與圓相交的性質，虛數單位i及其性質，要求學生掌握用d與r的大小來判斷直線與圓的位置關系．其中利用復數的運算性質，判斷出方程的另一個根為1-i，是解答本題的關鍵．