Question

已知向量

a

=(sinθ，cosθ)，

b

=(2，1)，且

a

∥

b

，其中θ∈(0，

π

2

)．
（1）求tanθ的值；
（2）若tanγ=3，求tan（θ-γ）的值；
（3）求

2 sin(θ+ π 4 )(sinθ+2cosθ)

cos2θ

的值．

Answer 1

分析：（1）由向量平行的充要條件可得關于θ的式子，由同角三角函數的基本關系可得；
（2）由已知及（1）所求，代入兩角差的正切即可；（3）由三角函數的公式化簡后，代入tanθ=2，可得答案．

解答：解：（1）由

a

∥

b

得2×sinθ-1×cosθ=0，即sinθ=2cosθ，…（2分）
故tanθ=

sinθ

cosθ

=2；　　　　　　　　　　　　　…（4分）
（2）由tanγ=3結合（1）所求的tanθ=2得，tan(θ-γ)=

tanθ-tanγ

1+tanθtanγ

=-

1

7

；…（8分）
（3）由公式可得

2 sin(θ+ π 4 )(sinθ+2cosθ)

cos2θ

=

(sinθ+cosθ)(sinθ+2cosθ)

(sinθ+cosθ)(cosθ-sinθ)

…（10分）
=

sinθ+2cosθ

cosθ-sinθ

=

tanθ+2

1-tanθ

=-4；…（12分）

點評：本題考查向量的平行和三角函數的運算，涉及弦化切的思想，屬基礎題．