Question

【題目】已知函數 .
（1） 時，證明： ；
（2）當 時，直線 和曲線 切于點 ，求實數 的值；
（3）當 時，不等式 恒成立，求實數 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）證明：記 ，
∵ ，
令 得 ，
當 ， ， 遞減；當 ， ， 遞增，
∴ ，
，
得
（2）解：切點為 ， ，則
，∴ ，
∵ ，∴ 由(1)得 .
所以 .
（3）解：由題意可得 恒成立，
所以 ，
下求 的最小值，
，
由(1) 知 且 .
所以 ， 遞減，
∵ ，∴ .
所以
【解析】（1）通過定義新函數將不等式轉化為函數的最值問題；（2）由題意可知點A既在直線上也在曲線上，從而可以用m表示n與k，從而將問題轉化為解方程，而所列方程無一般解法，恰好利用（1）的結果即可解方程，進而求得k的值；（3）求不等式中字母的取值范圍可以轉化為求函數G（x）的最小值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．