Question

【題目】已知圓過， ，且圓心在直線上．

（Ⅰ）求此圓的方程．

（Ⅱ）求與直線垂直且與圓相切的直線方程．

（Ⅲ）若點為圓上任意點，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或；（Ⅲ） ．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）圓過兩點，則圓心必在線段的垂直平分線上，可先求出線段的垂直平分線的方程，再與已知直線方程聯立方程組解得圓心坐標，然后求出半徑可得標準方程；

（Ⅱ）與題直線垂直，可設方程為，再由圓心到切線距離等于半徑求得參數即可；

（Ⅲ）面積的最大值即點到直線距離最大時取得，求出圓心到直線的距離，最大距離為，最小距離為為，從而可得最大面積．

試題解析：

（Ⅰ）易知中點為， ，

∴的垂直平分線方程為，

即，

聯立，解得．

則，

∴圓的方程為．

（Ⅱ）易知該直線斜率為，

不妨設該直線方程為，

由題意有，解得．

∴該直線方程為或．

（Ⅲ），即，

圓心到的距離．

∴

．