Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）見解析；

（Ⅲ）見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結論；

(Ⅱ)由幾何體的空間結構特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直；

(Ⅲ)由題意，利用平行四邊形的性質和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點.

（Ⅰ）證明：因為平面,所以；

因為底面是菱形，所以;

因為,平面,

所以平面.

（Ⅱ）證明：因為底面是菱形且，所以為正三角形，所以,

因為,所以；

因為平面，平面,

所以；

因為

所以平面，

平面,所以平面平面.

（Ⅲ）存在點為中點時，滿足平面；理由如下:

分別取的中點，連接,

在三角形中，且；

在菱形中，為中點，所以且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以;

又平面，平面，所以平面.