Question

設O為△ABC內一點，若任意k∈R，有，則△ABC的形狀一定是（ ）
A．銳角三角形
B．直角三角形
C．鈍角三角形
D．不能確定

Answer 1

【答案】分析：由題意可得|-k |≥||，兩邊平方化簡可得，關于k的不等式 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0恒成立，
由判別式△≤0 化簡可得 sin²B≥，再由正弦定理求得 sin²C≥1，故有sinC=1，C=，由此得出結論．
解答：解：∵O為△ABC內一點，若任意k∈R，有，即|-k |≥||．
設△ABC的三邊分別為a、b、c，把不等式|-k |≥||兩邊平方可得：
 +k² -2k≥，即 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0．
由于k為任意實數，故關于k的不等式 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0恒成立．
故判別式△=4a²c²cos²B-4a²（c²-b²）≤0，化簡可得 sin²B≥．
再由正弦定理可得 sin²B≥，∴sin²C≥1．
由于C為△ABC的內角，故0＜sinC≤1，故只有 sinC=1，∴C=．
故△ABC的形狀一定是直角三角形，
故選 B．
點評：本題主要考查函數的恒成立問題，正弦定理的應用，兩個向量的數量積的運算，屬于中檔題．