Question

設O為△ABC內一點，若任意k∈R，有|

OA

-

OB

-k

BC

| ≥ |

OA

-

OC

|，則△ABC的形狀一定是（　　）

A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．不能確定

Answer 1

∵O為△ABC內一點，若任意k∈R，有|

OA

-

OB

-k

BC

| ≥ |

OA

-

OC

|，即|

BA

-k

BC

|≥|

CA

|．
設△ABC的三邊分別為a、b、c，把不等式|

BA

-k

BC

|≥|

CA

|兩邊平方可得：
 

BA

2+k² 

BC

2-2k

BA

•

BC

≥

CA

2，即 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0．
由于k為任意實數，故關于k的不等式 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0恒成立．
故判別式△=4a²c²cos²B-4a²（c²-b²）≤0，化簡可得 sin²B≥

b2

c2

．
再由正弦定理可得 sin²B≥

sin2B

sin2C

，∴sin²C≥1．
由于C為△ABC的內角，故0＜sinC≤1，故只有 sinC=1，∴C=

π

2

．
故△ABC的形狀一定是直角三角形，
故選 B．