Question

【題目】已知函數.

（1）設是的極值點，求，并求的單調區間；

（2）當時，證明.

Answer 1

【答案】（1），的單調遞減區間為，增區間為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出導函數，由求得，再確定的正負，從而確定的單調區間；

（2）由得，，構造新函數，，只要證明即可，利用導數求出的最小值即可．只是要注意的唯一解不可直接得出，只能通過的零點來研究的最小值，只要說明即可．

（1），

由是的極值點知，，即，所以.

于是，定義域為，且，

函數在上單調遞增，且，

因此當時，；當時，，

所以的單調遞減區間為，增區間為.

（2）當，時，，從而，則

，

令，，則

在單調遞增，

且，，

故存在唯一的實數，使得.

當時，，遞減；當時，，遞增．

從而當時，取最小值.

由得，則，，

故，

由知，，故，

即當時，成立.