Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，動點到兩坐標軸的距離之和等于它到定點的距離，記點P的軌跡為，給出下列四個結論：①關于原點對稱；②關于直線對稱；③直線與有無數個公共點；④在第一象限內，與x軸和y軸所圍成的封閉圖形的面積小于.其中正確的結論是________.（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

由題意可得當xy≥0，可得xy+x+y﹣1＝0，當xy＜0時，﹣xy+x+y﹣1＝0，畫出P的軌跡圖形，由圖形可得不關于原點對稱，關于直線y＝x對稱，且直線y＝1與曲線有無數個公共點；曲線在第一象限與坐標軸圍成的封閉圖形的面積小于邊長為1的等腰三角形的面積，即可得到正確結論個數．

解：動點P（x，y）到兩坐標軸的距離之和等于

它到定點A（1，1）的距離，

可得|x|+|y|，

平方化為|xy|+x+y﹣1＝0，

當xy≥0，可得xy+x+y﹣1＝0，

即y，即y＝﹣1，

當xy＜0時，﹣xy+x+y﹣1＝0，

即有（1﹣x）y＝1﹣x．

畫出動點P的軌跡為圖：

①Γ關于原點對稱，不正確；

②Γ關于直線y＝x對稱，正確；

③直線y＝1與Γ有無數個公共點，正確；

④在第一象限內，Γ與x軸和y軸所圍成的封閉圖形的面積小于，正確．

故答案為：②③④．