Question

已知A（-1，2）為拋物線C: y=2x²上的點，直線過點A，且與拋物線C 相切，直線:x=a(a≠-1)交拋物線C于B，交直線于點D.
（1）求直線的方程.
（2）設(shè)的面積為S₁，求及S₁的值.

（3）設(shè)由拋物線C，直線所圍成的圖形的面積為S₂，求證S₁:S₂的值為與a無關(guān)的常數(shù).

Answer 1

（1）的方程為y-2=-4(x+1)即y="-4x-2 " (2) = 2²+4+2=2（+1）²
∴S₁=   (3) S₁:S₂的值為與無關(guān)的常數(shù)，這常數(shù)是

（1）由當(dāng)x=1時，y＇="-4                  " ……………2分
  ∴的方程為y-2=-4(x+1)即y="-4x-2   "                  ……………………3分
(2)得B點坐標為（）                    ……………………4分
由得D點坐標（,-4-2）            ……………………5分
點A 到直線BD的距離為                   ………………………………6分
= 2²+4+2=2（+1）²
∴S₁=                                     ………………………………7分
(3)當(dāng)>-1時，S₁=（+1）³，               ………………………………………8分
                                     
…………………………………………9分
…………………………………………10分
∴S₁:S₂=         ………………………………………………………………………11分
當(dāng)<-1時，S₁= -（+1）³          ……………………………………………………12
   ……………………………………………13分
∴S₁:S₂=
綜上可知S₁:S₂的值為與無關(guān)的常數(shù)，這常數(shù)是      …………………………………14分