Question

對(duì)任意函數(shù)f（x），x∈D，可按圖構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器．記由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{x_n}．
（Ⅰ）若定義函數(shù)，且輸入，請(qǐng)寫出數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)；
（Ⅱ）若定義函數(shù)f（x）=2x+3，且輸入x=-1，求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式x_n．
（Ⅲ）若定義函數(shù)f（x）=xsinx（0≤x≤2π），且要產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列{x_n}，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x的值及相應(yīng)數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式x_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），由此能推導(dǎo)出數(shù)列{x_n}只有三項(xiàng)．
（Ⅱ）f（x）=2x+3的定義域?yàn)镽，若x=-1，則x₁=1，則x_n+1+3=2（x_n+3），從而得到數(shù)列{x_n+3}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ） 若要產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列，則f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，由此能求出輸入的初始數(shù)據(jù)x的值及相應(yīng)數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式x_n．
解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞）…（1分）
把代入可得，
把代入可得，
把代入可得x₃=-1
因?yàn)閤₃=-1∉D，
所以數(shù)列{x_n}只有三項(xiàng)：…（4分）
（Ⅱ）f（x）=2x+3的定義域?yàn)镽，
若x=-1，則x₁=1，
則x_n+1=f（x_n）=2x_n+3，所以x_n+1+3=2（x_n+3），
所以數(shù)列{x_n+3}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，
所以，
所以，
即數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．…（9分）
（Ⅲ） 若要產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列，
則f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，
即x（sinx-1）=0在[0，2π]上有解，
則x=0或sinx=1，所以x=0或
即當(dāng)
故當(dāng)x=0時(shí)，x_n=0；當(dāng)．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的所有項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．