Question

對任意函數f（x），x∈D，可按圖示構造一個數列發生
器，工作原理如下：
（1）輸入x₀∈D，則可輸出x₁=f（x₀）（2）若x₀∉D，則結束，否則計算x₂=f（x₁）．
現定義 f(x)=

4x-2

x+1

．
①若輸入x0=

49

65

，寫出{x_n}；
②若要數列發生器產生一個無窮的常數列，試求輸入的x₀．

Answer 1

分析：①利用f(x)=

4x-2

x+1

，x0=

49

65

及工作原理，注意函數的定義域，直接可求得數列{x_n}的只有三項；
②要數列發生器產生一個無窮的常數列，則有f(x)=

4x-2

x+1

=x，從而求出相應的初始數據x₀的值；

解答：解：①因為f（x）的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
x1=

4× 49 65 -2

49 65 +1

=

11

19

，x2=

4× 11 19 -2

11 19 +1

=

1

5

，x3=

4× 1 5 -2

1 5 +1

=-1∉D，
所以數列{x_n}只有三項x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1．
②因為f(x)=

4x-2

x+1

=x，即x²-3x+2=0，所以x=1或x=2，
即x₀=1或x₀=2時，xn+1=

4xn-2

xn+1

=xn•
故當x₀=1時，x_n=1；當x₀=2時，x_n=2（n∈N^*）．
故1，2為所求．

點評：本題是數列與算法的簡單結合，應搞清算法原理，將問題等價轉化，有一定的難度．