Question

【題目】設橢圓的左、右焦點為，，右頂點為，上頂點為.已知.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設為橢圓上異于其頂點的一點，以線段為直徑的圓經過點，經過原點的直線與該圓相切.求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.

【解析】

（Ⅰ）由題意得，再結合即可得，即可得解；

（Ⅱ）設橢圓方程為，，由題意可得，進而可得圓的方程，利用直線與圓相切的性質列出方程后即可得解.

（Ⅰ）由，可得，

又，則.

所以，橢圓的離心率.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故橢圓方程為.

設.由，，有，.

由已知，有，

即.

又，故有. ①

又因為點在橢圓上，故. ②

由①和②可得，而點不是橢圓的頂點，

故，代入①得，即點的坐標為，

設圓的圓心為，則，，

進而圓的半徑.

設直線的斜率為，依題意，直線的方程為，

由與圓相切，可得，即，

整理得，解得.

所以，直線的斜率為或.