Question

給出下列命題：
①x²≠y²?x≠y或x≠-y；
②命題“若a，b是偶數，則a+b是偶數”的逆否命題是“若a+b不是偶數，則a、b都不是偶數”；
③若“p或q”為假命題，則“非p且非q”是真命題；
④已知a、b、c是實數，關于x的不等式ax²+bx+c≤0的解集是空集，必有a＞0且△≤0；
⑤設f1(x)=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，則a₂₀₁₀=(-

1

2

)2011．
正確的是

③⑤

．（填番號）

Answer 1

分析：①x²≠y²可得x≠y且x≠-y；可判斷①
②根據逆否命題是對原命題的題設和結論分別進行否定且交換題設與結論的位置可判斷②
③由p或q為假命題，可知p，q都為假命題，根據復合命題的真假關系可判斷③
④例如，a=b=0，c=1，關于x的不等式ax²+bx+c≤0的解集是空集，可判斷④
⑤由f1(x)=

2

1+x

，可得f₁（0），根據已知可得a_n+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

1-fn(0)

4+2fn(0)

，結合等比數列的通項公式可求a_n，進而可求

解答：解；：①x²≠y²?x≠y且x≠-y；故①錯誤
②命題“若a，b是偶數，則a+b是偶數”的逆否命題是“若a+b不是偶數，則a、b不都是偶數”；故②錯誤
③若“p或q”為假命題，則p，q都為假命題，￢p，￢q都為真命題，“非p且非q”是真命題；故③正確
④例如，a=b=0，c=1，關于x的不等式ax²+bx+c≤0的解集是空集，故④錯誤
⑤由f1(x)=

2

1+x

，可得f₁（0）=2
∴a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

∴f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

∴a_n+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

1-fn(0)

4+2fn(0)

=-

1

2

an
∴數列{a_n}是首項為

1

4

為首項，以-

1

2

為公比的等比數列
∴a_n=

1

4

•(-

1

2

)n-1
∴aa2010=

1

4

•(-

1

2

)2009=-(

1

2

)2011，故 ⑤正確
故答案為：③⑤

點評：本題主要考查了命題的否命題的寫法，復合命題的真假關系的應用及不等式的恒成立問題的應用，而⑤中的等比關系的確定是解答的難點所在．