Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且對一切正整數n都有．
（I）求證：a_n+1+a_n=4n+2；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）是否存在實數a，使不等式對一切正整數n都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，知，由此能夠導出．
（II）在中，令n=1，得a₁=2，代入（I）得a₂=4．由a_n+1+a_n=4n+2，知a_n+2+a_n+1=4n+6，故a_n+2-a_n=4，由此能導出數列{a_n}的通項公式是a_n=2n．
（III）＜等價于，令f（n）=，則f（n）＞0，由此能夠導出存在實數a，符合題意，并能求出其取值范圍．
解答：解：（I）∵，
∴
=，
∴，
即．
（II）在中，
令n=1，得a₁=2，代入（I）得a₂=4．
∵a_n+1+a_n=4n+2，∴a_n+2+a_n+1=4n+6，
兩式相減，得：a_n+2-a_n=4，
∴數列{a_n}的偶數項a₂，a₄，a₆，…，a₂₆，…依次構成一個等差數列，
且公差為d=4，
∴當n為偶數時，=，
當n為奇數時，n+1為偶數，由上式及（I）知：
a_n=4n+2-a_n+1=4n+2-2（n+1）=2n，
∴數列{a_n}的通項公式是a_n=2n．
（III）＜，
等價于，
令f（n）=，
則由（II）知f（n）＞0，
∴
═
=
=
=．
∴f（n+1）＜f（n），即f（n）的值隨n的增大而減小，
∴n∈N^*時，f（n）的最大值為，若存在實數a，符合題意，
則必有：，
即，
它等價于，
解得，或，
因此，存在實數a，符合題意，
其取值范圍為．
點評：本題考查數列和不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．