【題目】觀察以下各等式：
tan 30°＋tan 30°＋tan 120°＝tan 30°·tan 30°·tan 120°，
tan 60°＋tan 60°＋tan 60°＝tan 60°·tan 60°·tan 60°，
tan 30°＋tan 45°＋tan 105°＝tan 30°·tan 45°·tan 105°.
分析上述各式的共同特點，猜想出表示的一般規律，并加以證明．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高三年級數學競賽初賽考試后，對90分以上(含90分)的成績進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知成績在130～140分數段的人數為2.
(1)求這組數據的平均數M.
(2)現根據初賽成績從第一組和第五組(從低分段至高分段依次為第一組、第二組、…、第五組)中任意選出兩人，形成幫扶小組．若選出的兩人的成績之差大于20，則稱這兩人為“黃金搭檔組”，試求選出的兩人為“黃金搭檔組”的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=alnx+ax2+bx，（a，b∈R）．
（1）設a=1，f（x）在x=1處的切線過點（2，6），求b的值；
（2）設b=a2+2，求函數f（x）在區間[1，4]上的最大值；
（3）定義：一般的，設函數g（x）的定義域為D，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，則稱x0為函數g（x）的不動點．設a＞0，試問當函數f（x）有兩個不同的不動點時，這兩個不動點能否同時也是函數f（x）的極值點？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．點E是棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F．
（Ⅰ）求證：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求證：AF⊥平面PCD．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知各項均不為0的數列{an}滿足a1=a，a2=b，且an2=an﹣1an+1+λ（n≥2，n∈N），其中λ∈R．
（1）若λ=0，求證：數列{an}是等比數列；
（2）求證：數列{an}是等差數列的充要條件是λ=（b﹣a）2；
（3）若數列{bn}為各項均為正數的等比數列，且對任意的n∈N* ， 滿足bn﹣an=1，求證：數列{（﹣1）nanbn}的前2n項和為常數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】環保部門對5家造紙廠進行排污檢查，若檢查不合格，則必須整改，整改后經復查仍然不合格的，則關閉．設每家造紙廠檢查是否合格是相互獨立的，且每家造紙廠檢查前合格的概率是 
，整改后檢查合格的概率是 
，求：
（Ⅰ）恰好有兩家造紙廠必須整改的概率；
（Ⅱ）至少要關閉一家造紙廠的概率；
（Ⅲ）平均多少家造紙廠需要整改？（其中（ 
）5≈ 
）
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【題目】某賓館在裝修時，為了美觀，欲將客房的窗戶設計成半徑為1m的圓形，并用四根木條將圓分成如圖所示的9個區域，其中四邊形ABCD為中心在圓心的矩形，現計劃將矩形ABCD區域設計為可推拉的窗口． 
（1）若窗口ABCD為正方形，且面積大于 
m2（木條寬度忽略不計），求四根木條總長的取值范圍；
（2）若四根木條總長為6m，求窗口ABCD面積的最大值．
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【題目】某學校1800名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，抽取其中50名學生組成一個樣本，將測試結果按如下方式分成五組：第一組
，第二組
……，第五組
，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
（1）請估計學校1800名學生中，成績屬于第四組的人數；
（2）若成績小于15秒認為良好，求該樣本中在這次百米測試中成績良好的人數；
（3）請根據頻率分布直方圖，求樣本數據的眾數、平均數.
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