Question

15名新生中有3名優(yōu)秀生，隨機(jī)將15名新生平均分配到3個(gè)班級(jí)中去.

（1）每班級(jí)各分配一名優(yōu)秀生的概率是多少？

（2）3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的概率是多少？

（3）甲班至少分到一名優(yōu)秀生的概率是多少？

Answer 1

思路解析：本題考查等可能事件的概率，需求出各事件所包含的基本事件數(shù).這是一個(gè)分配問題，是典型的組合應(yīng)用題，此題充分反映了排列、組合與概率的內(nèi)在聯(lián)系.

解：（1）每班分配到1名優(yōu)秀生和4名非優(yōu)秀生，將15名新生平均分配到3個(gè)班共有種不同分法.將3名優(yōu)秀生分到3個(gè)班有A種分法，將12名非優(yōu)秀生平均分到三個(gè)班有種，所以每班一名優(yōu)秀生的分配方法有

故每班各分配一名優(yōu)秀生的概率是P₁=

（2）將3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)去，有種分法，這個(gè)班還少2人，有種選法，剩下的10個(gè)人平均分到兩個(gè)班有種分法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理將3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)共有··種分法，

故所求概率P₂=

（3）解法一：甲班至少一名優(yōu)秀生，可以是1名、2名、3名，恰有1名時(shí)，分法數(shù)是；恰有2名時(shí)，分法數(shù)是；恰有3名時(shí)，分法數(shù)有.由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種，故所求的概率為P₃=

解法二：從反面考慮.甲班至少一名的反面是全無，而全無的分法數(shù)是，其概率是

故所求的概率為P₃=

方法歸納  分組包括平均分組與非平均分組兩類情形，前面已有講述.利用等可能事件的概率模型求概率時(shí)，不需要通過大量重復(fù)試驗(yàn)，只需對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可，它適用的前提是全體基本事件的有限性和等可能性.