Question

在平面直角坐標系中有兩點A₁（a，0），B₁（0，a）其中a＞0，過△OA₁B₁內心C₁作平行A₁B₁的直線A₂B₂分別交x軸、y軸于A₂，B₂，再過△OA₂B₂內心C₂作平行A₁B₁的直線A₃B₃…，設△OA_nB_n的直角邊長為x_n，則x_n與x_n-1之間的關系是

xn=(2-

2

)xn-1

．

Answer 1

分析：首先應求出x₂．設C₁（m，m）（m＞0），則△OA₁B₁內切圓半徑r=m，且OA₂=

2

OC₁=

2

×

2

m，關鍵是如何求解m（r）：利用等面積法，S_△OA1B1=

1

2

a²=

1

2

c•m（c為△OA₁B₁ 周長），可求出r，由此確定出x₁與x₂之間的關系
，依此類推，得出x_n與x_n-1之間的關系．

解答：解：如圖所示，設C₁（m，m）（m＞0），則△OA₁B₁內切圓半徑r=m．
利用等面積法，S_△OA1B1=

1

2

a²=

1

2

c•m（c為△OA₁B₁ 周長），
∴m=

a2

2a+ 2 a

=

2- 2

2

a，
根據直角三角形的性質得，OA₂=

2

OC₁=

2

×

2

m=（2-

2

）a，
即x₂=（2-

2

）a，∴

x2

x1

=2-

2

，
以（2-

2

）a代替a，可得OA₃=（2-

2

）（2-

2

）a，
∴

x3

x2

=2-

2

，依此類推可得
xn=(2-

2

)xn-1．
故答案為：xn=(2-

2

)xn-1

點評：本題考查數列遞推公式求解，三角形與內切圓關系的應用，等面積法．關鍵是求內切圓半徑，以便求出直角三角形的直角邊．