Question

（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱的各棱長都是4， 是的中點，動點在側棱上，且不與點重合．
（I）當時，求證：；
（II）設二面角的大小為，求的最小值．

Answer 1

解法一：過E作于N，連結EF．

（I）如圖1，連結NF、，由直棱柱的性質知，底面ABC側面．
又底面側面=AC，且底面ABC，所以側面，
∴NF為EF在側面內的射影，
在中，=1，則由，得NF//，
又故，由三垂線定理知
（II）如圖2，連結AF，過N作于M，連結ME，由（I）知側面，
根據三垂線定理得,所以是二面角C—AF—E的平面角，即．
設，在中，
在故
又，故當即當時，達到最小值，
，此時F與重合．
解法二：（I）建立如圖3所示的空間直角坐標系，則由已知可得

于是
故
（II）設平面AEF的一個法向量為，
則由（I）得，
于是由可得

取
又由直三棱柱的性質可取側面
的一個法向量為，
于是由為銳角可得，∴，
由，得，即
故當，即點F與點重合時，取得最小值

略