Question

【題目】設函數f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．
（1）若函數f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|的最小值，并求取的最小值時x的取值范圍；
（2）若g（x）= 的定義域為R，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由絕對值三角不等式可得，

f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2，

當且僅當 ．即 ，即x∈[ ， ]]時等號成立，故f（x）的最小值為2

（2）解：g（x）= 的定義域為R等價于f（x）+m≠0在R上恒成立，

即f（x）+m=0在R上無解，所以m＞﹣2，即實數m的取值范圍為（﹣2，+∞）

【解析】（1）根據絕對值不等式的解法，進行求解即可．（2）將g（x）= 的定義域為R，轉化為（x）+m≠0在R上恒成立，即f（x）+m=0在R上無解，結合函數的最值進行求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的定義域及其求法的相關知識，掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零．