Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使得平面A′DE⊥平面BCDE，F為線段A′C的中點．

（Ⅰ）求證：BF∥平面A′DE；

（Ⅱ）求直線A′B與平面A′DE所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取A'D的中點M，連接 FM，EM，由已知得四邊形BFME為平行四邊形，由此能證明BF∥平面A'DE．

（Ⅱ）在平面BCDE內作BN⊥DE，交DE的延長線于點N，則BN⊥平面A'DE，連接A'N，∠BA'N為A'B與平面A'DE所成的角，由此能求出直線A'B與平面A'DE所成角的正切值．

（Ⅰ）證明：取A'D的中點M，連接 FM，EM．

∵F為A'C中點，∴FM∥CD且，

∴BE∥FM且BE＝FM，∴四邊形BFME為平行四邊形,∴BF∥EM，

又EM平面A'DE，BF平面A'DE，

∴BF∥平面A'DE.

（Ⅱ）在平面BCDE內作BN⊥DE，交DE的延長線于點N，

∵平面A'DE⊥平面BCDE，平面A'DE∩平面BCDE＝DE，

∴BN⊥平面A'DE，連接A'N，

則∠BA'N為A'B與平面A'DE所成的角，

∵△BNE∽△DAE，BE＝1，，∴.

在△A'DE中作A'P⊥DE垂足為P，∵A'E＝1，A'D＝2，

∴，∵，∴在直角△A'PN中，，

又，∴,

∴在直角△A'BN中，，

∴直線A'B與平面A'DE所成角的正切值為．