Question

函數(shù) ．
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，求證：；（4分）
(Ⅱ) 在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍。（4分）
(Ⅲ) 當(dāng)時(shí)，求證：）．（4分）

Answer 1

（I）見解析（II）. （III）見解析

（Ⅰ）構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)法研究單調(diào)性，進(jìn)一步得到不等關(guān)系；（Ⅱ）把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，然后利用導(dǎo)數(shù)法求解；（Ⅲ）利用放縮法證明不等式
（I）證明:設(shè)
則,則,即在處取到最小值,
則,即原結(jié)論成立.
（II）解:由得 即,另,
另,則單調(diào)遞增,所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823221106937614.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,即單調(diào)遞增,則的最大值為
所以的取值范圍為.
（III）證明:由第一問得知則
則