Question

【題目】從某企業的某種產品中抽取件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求這件產品質量指標值的樣本平均數和樣本方差（同一組數據用該區間的中點值作代表，記作，）；

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認為，這種產品的質量指標值服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差．

（i）若使的產品的質量指標值高于企業制定的合格標準，則合格標準的質量指標值大約為多少？

（ii）若該企業又生產了這種產品件，且每件產品相互獨立，則這件產品質量指標值不低于的件數最有可能是多少？

附：參考數據與公式：，；若，則①；②；③．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）（i）；（ii）．

【解析】

（Ⅰ）根據頻率分布直方圖估計平均數的方法可直接求得；利用方差計算公式可求得樣本方差；（Ⅱ）（i）根據原則可驗證出，求得即為結果；（ii）根據原則可得到，從而得到這產品的質量指標值不低于的件數服從于，；根據二項分布概率公式構造不等式，解不等式可求得，從而可得結果.

（Ⅰ）

（Ⅱ）由題意知：

（i）

∴時，滿足題意

即合格標準的質量指標值約為：

（ii）由

可知每件產品的質量指標值不低于的事件概率為

記這產品的質量指標值不低于的件數為

則，其中

恰有件產品的質量指標值不低于的事件概率：

則，解得：

當時，；

當時，

由此可知，在這件產品中，質量指標值不低于的件數最有可能是