Question

中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F₁，F₂，且，橢圓的長半軸與雙曲線的實半軸之差為4，離心率之比為3：7．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的方程；
（Ⅱ）若P為雙曲線與橢圓的交點，求cos∠F₁PF₂．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據半焦距c=，設橢圓長半軸為a，由離心率之比求出a，進而求出橢圓短半軸的長及雙曲線的虛半軸的長，寫出橢圓和雙曲線的標準方程．
（Ⅱ）由橢圓、雙曲線的定義求出PF₁與PF₂的長，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求出 cos∠F₁PF₂ 的值．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，半焦距c=，設橢圓長半軸為a，則雙曲線實半軸 a-4，
離心率之比為=，
∴a=7，
∴橢圓的短半軸等于=6，
雙曲線虛半軸的長為=2，
∴橢圓和雙曲線的方程分別為：
和 ．
（Ⅱ）由橢圓的定義得：PF₁ +PF₂=2a=14，
由雙曲線的定義得：PF₁-PF₂=±6，
∴PF₁與PF₂中，一個是10，另一個是 4，不妨令PF₁=10，PF₂=4，
又F₁F₂=2，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理得：=100+16-80cos∠F₁PF₂，
∴cos∠F₁PF₂=．
點評：本題考查橢圓、雙曲線標的定義應用和標準方程的求法，以及利用余弦定理解三角形．