Question

設函數y=f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象在x=0處的切線方程為24x+y-12=0．
（Ⅰ）求c，d；
（Ⅱ）若函數在x=2處取得極值-16，試求函數解析式并確定函數的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對函數求導f'（x）=3ax²+2bx+c，由題意可得f'（0）=-24，f（0）=12，代入可求c，d
（Ⅱ）由已知得：

f(2)=16 f′(2)=0

，代入可求a，b，然后代入到f'（x），由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0可分別求函數f（x）的單調增區間，單調減區間

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3ax²+2bx+c，
∴f'（0）=c；-----------------（1分）
∵切線24x+y-12=0的斜率為k=-24，∴c=-24；-----------------（2分）
把x=0代入24x+y-12=0得y=12，∴P（0，12），-----------------（3分）
∴d=12．
∴c=-24，d=12．-----------------（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=ax³+bx²-24x+12
由已知得：

f(2)=16 f′(2)=0

⇒

8a+4b-36=-16 12a+4b-24=0

∴

a=1 b=3

-----------------（5分）
∴f（x）=x³+3x²-24x+12
∴f'（x）=3x²+6x-24=3（x²+2x-8）=3（x+4）（x-2）-----------------（6分）
由f'（x）＞0得，x＜-4或x＞2；
由f'（x）＜0得，-4＜x＜2；-----------------（7分）
∴f（x）的單調增區間為（-∞，-4），（2，+∞）；
單調減區間為（-4，2）．-----------------（8分）

點評：本題主要考查了導數的幾何意義的應用：由切線的斜率求解函數在一點處的導數值，導數在函數極值求解、單調區間的求解中的應用，屬于函數的導數知識的綜合應用．