Question

定義：若數列對任意，滿足（為常數），稱數列為等差比數列.
(1)若數列前項和滿足，求的通項公式，并判斷該數列是否為等差比數列；
(2)若數列為等差數列，試判斷是否一定為等差比數列，并說明理由；
(3)若數列為等差比數列，定義中常數，數列的前項和為， 求證：.

Answer 1

（1）數列是首項為3，公比為的等比數列
（2）當時，數列是等差比數列；  
當時，數列是常數列，數列不是等差比數列..
（3）

試題分析：解：（1）當時，，則
當時，，則
數列是首項為3，公比為的等比數列，

數列是等差比數列。
設等差數列的公差為，則,
當時，數列是等差比數列；  
當時，數列是常數列，數列不是等差比數列.
由 
知數列是以2為首項，2為公比的等比數列.
 ,

 ,   
   ①
①得      ②
①②得
 
點評：解決的關鍵是根據數列的遞推關系來得到通項公式以及錯位相減法求和，屬于基礎題。