Question

已知二次函數滿足且.
（Ⅰ）求的解析式.（Ⅱ）在區間上, 的圖象恒在的圖象上方 試確定實數的范圍.

Answer 1

（Ⅰ）f(x)=x²-x+1. （Ⅱ）m<-1.

 本試題主要是考查了函數的性質和函數的解析式的運用
（1）設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,
（2）由題意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x²-3x+1-m>0在[-1, 1]上恒成立.
設g(x)= x²-3x+1-m,其圖象的對稱軸為直線x=,所以g(x) 在[-1,1]上遞減.
那么可得。
解： (Ⅰ)設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,所以,∴f(x)=x²-x+1.
(Ⅱ)由題意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x²-3x+1-m>0在[-1, 1]上恒成立.
設g(x)= x²-3x+1-m,其圖象的對稱軸為直線x=,所以g(x) 在[-1,1]上遞減.
故只需g(1)>0,即1²-3×1+1-m>0,解得m<-1.