Question

已知函數f（x）=ax-

b

x

-2lnx，f（1）=0若函數f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且a_n+1=f′（

1

an+1

）-na_n+1，若a₁≥3，求證：a_n≥n+2

Answer 1

分析：先利用導數的幾何意義求出數列的遞推公式，再證之．

解答：解：x＞0，f（1）=a-b=0，∴a=b，f^′（x）=a+

a

x2

-

2

x

，
∵函數f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，
∴f^′（1）=0，即a+a-2=0，解得 a=1
∴f^′（x）=(

1

x

-1)2，a_n+1=a_n²-na_n+1
下面用數學歸納法證明：
（Ⅰ） 當n=1，a₁≥3=1+2，不等式成立；
（Ⅱ）假設當n=k時，不等式成立，即：a_k≥k+2，
a_k-k≥2＞0，
∴a_k+1=a_k（a_k-k ）+1≥2（k+2）+1=（ k+3）+k+2＞k+3
也就是說，當n=k+1時，a_k+1≥（k+1）+2成立
根據（Ⅰ）（Ⅱ）對于所有n≥1，都有a_n≥n+2成立

點評：本題主要考查數學歸納法，在證明a_k+1≥（k+1）+2成立時，要明確要證的目標，應用假設的結論．