Question

（2013•湖北）已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂）（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

D

∵=lnx+1﹣2ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個(gè)解x₁，x₂?函數(shù)g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有兩個(gè)零點(diǎn)
?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．
．
①當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，f′（x）單調(diào)遞增，因此g（x）=f′（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，應(yīng)舍去．
②當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得x=，
∵x，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴x=是函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)，則＞0，即＞0，
∴l(xiāng)n（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．
∵，f′（x₁）=lnx₁+1﹣2ax₁=0，f′（x₂）=lnx₂+1﹣2ax₂=0．
且f（x₁）=x₁（lnx₁﹣ax₁）=x₁（2ax₁﹣1﹣ax₁）=x₁（ax₁﹣1）＜x₁（﹣ax₁）=＜0，
f（x₂）=x₂（lnx₂﹣ax₂）=x₂（ax₂﹣1）＞=﹣．（）．
故選D．