Question

已知雙曲線的中心在原點，左右焦點分別為F₁，F₂，離心率為

2

，且過點(4，-

10

)，
（1）求此雙曲線的標準方程；
（2）若直線系kx-y-3k+m=0（其中k為參數）所過的定點M恰在雙曲線上，求證：F₁M⊥F₂M．

Answer 1

（1）∵e=

2

，∴

c

a

=

2

，∴c²=2a²=a²+b²，∴a=b，
∴設雙曲線方程為x²-y²=a²（a＞0），∵雙曲線經過(4，-

10

)，∴16-10=a²即a²=6，
∴所求雙曲線方程為

x2

6

-

y2

6

=1．----------（4分）
（2）∵直線系方程可化為k（x-3）-y+m=0
∴直線系過定點M（3，m）．------------（5分）
∵M（3，m）在雙曲線上，∴9-m²=6，，∴m²=3
又雙曲線焦點坐標為F1(-2

3

，0)，F2(2

3

，0)
∴kF1M=

m

3+2 3

，kF2M=

m

3-2 3

-----------（7分）
∴kF1M•kF2M=

m2

(3+2 3 )(3-2 3 )

=-1∴F₁M⊥F₂M----------（10分）