Question

攀巖運動是一項刺激而危險的運動，如圖（1）在某次攀巖活動中，兩名運動員在如圖所在位置，為確保運動員的安全，地面救援者應時刻注意兩人離地面的距離，以備發生危險時進行及時救援．為了方便測量和計算，現如圖（2）A，C分別為兩名攀巖者所在位置，B為山的拐角處，且斜坡AB的坡角為θ，D為山腳，某人在E處測得A，B，C的仰角分別為α，β，γ，ED=a，
（1）求：BD間的距離及CD間的距離；
（2）求證：在A處攀巖者距地面的距離h=

asinαsin(θ+β)

cosβsin(α+θ)

．

Answer 1

分析：（1）根據題意得∠CED=γ，∠BED=β，∠AED=α，借助圖形分別在直角三角形CED和直角三角形BED中求解；
（2）在直角三角形中先求出AE，BE，然后在△ABE中利用正弦定理即可求得．

解答：解：（1）根據題意得∠CED=γ，∠BED=β，∠AED=α
在直角三角形CED中，tanγ=

CD

DE

，CD=atanγ，
在直角三角形BED中，tanβ=

BD

DE

，BD=atanβ
（2）易得AE=

h

sinα

，BE=

a

cosβ

，
在△ABE中，∠AEB=α-β，∠EAB=π-（α+θ），
∴∠ABE=θ+β
正弦定理

BE

sin∠EAB

=

AE

sin∠ABE

代入整理：h=

asinαsin(θ+β)

cosβsin(α+θ)

點評：此題考查了學生讀題識圖的能力，還考查了利用直角三角形求解三角形中的知識及利用正弦定理求解三角形．