Question

已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，

（1）求證：E、F、G、H四點共面；

（2）求證：BD∥平面EFGH；

（3）設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有=（+++）.

 

Answer 1

【答案】

證明 見解析。

【解析】   

試題分析：證明  （1）連接BG，則

=+

=+（+）

= ++=+，

由共面向量定理的推論知：

E、F、G、H四點共面.

（2）因為=-  

=-=（-）=，

所以EH∥BD.

又EH平面EFGH，

BD平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH.

（3）連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.

由（2）知=，

同理=，

所以=，即EH   FG，

所以四邊形EFGH是平行四邊形.

所以EG，FH交于一點M且被M平分.

故=（+）=+

=[（+）]+[（+）]

=（+++）. 

考點：本題主要考查共線向量與共面向量，向量的應用。

點評：用向量語言表述線面的垂直、平行關系，考查運算能力，是中檔題。