Question

已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．
（1）用向量法證明E，F，G，H（2）四點共面；
（2）用向量法證明：BD∥平面EFGH；
（3）設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有

OM

=

1

4

(

OA

+

OB

+

OC

+

OD

)．

Answer 1

分析：（1）用向量的加法求出

EG

=

EF

+

EH

，即可證明E，F，G，H（2）四點共面；
（2）用向量表示

EH

=

1

2

BD

，就證明EH∥BD，又EH?面EFGH，BD不在 面EFGH，所以BD∥平面EFGH；
（3）M是EG和FH的交點，利用

EH

=

1

2

BD

推出EG、FH交于一點M且被M平分，然后推出

OM

=

1

4

(

OA

+

OB

+

OC

+

OD

)．

解答：證明：（1）連接BG，則

EG

=

EB

+

BG

=

EB

+

1

2

(

BC

+

BD

)=

EB

+

BF

+

EH

=

EF

+

EH

由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面，（其中

1

2

BD

=

EH

）
（2）因為

EH

=

AH

-

AE

= 

1

2

AD

-

1

2

AB

 =

1

2

(

AD

-

AB

)=

1

2

BD

．
所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD不在 面EFGH
所以BD∥平面EFGH．
（3）連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG
由（2）知

EH

=

1

2

BD

，同理

FG

=

1

2

BD

，所以

EH

=

FG

，
EH∥FG，EH=FG，所以EG、FH交于一點M且被M平分，
所以

OM

=

1

2

(

OE

+

OG

)=

1

2

[

1

2

(

OA

+

OB

)+

1

2

(

OC

+

OD

)]
=

1

4

(

OA

+

OB

+

OC

+

OD

)

點評：本題考查向量語言表述線面的垂直、平行關系，共線向量與共面向量，考查運算能力，是中檔題．