Question

【題目】2016年10月28日，經歷了近半個世紀風雨的南京長江大橋真“累”了，終于停下來喘口氣了，之前大橋在改善我們城市的交通狀況方面功不可沒．據相關數據統計，一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到280輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過30輛/千米時，車流速度為50千米/小時．研究表明，當30≤x≤280時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
（1）當0≤x≤280時，求函數v（x）的表達式；
（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時） f（x）=xv（x）可以達到最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，得當0≤x≤30時，v（x）=50；

當30＜x≤280時，

設v（x）=ax+b．

由已知 ，解得a=﹣0.2，b=56，

故函數v（x）的表達式為v（x）=

（2）解：f（x）=xv（x）= ，

當0≤x≤30時，f（x）≤1500．

當30＜x≤280時，f（x）=﹣0.2（x﹣140）2+3920，∴x=140，f（x）max=3920

∴車流密度x為140，f（x）=xv（x）可以達到最大為3920

【解析】（1）設v（x）=ax+b．利用x的范圍，列出方程組求解a，b，即可得到函數的解析式．（2）求出車流量f（x）=v（x）x的表達式，然后求解最大值即可．