Question

在xOy平面上有一點列P₁(a₁,b₁),P₂(a₂,b₂),…,P_n(a_n,b_n)…,對每個自然數n點P_n位于函數y=2000()^x(0<a<1)的圖像上，且點P_n,點(n,0)與點(n+1,0)構成一個以P_n為頂點的等腰三角形.
(1)求點P_n的縱坐標b_n的表達式；
(2)若對于每個自然數n,以b_n,b_n+1,b_n+2為邊長能構成一個三角形，求a的取值范圍；
(3)設C_n=lg(b_n)(n∈N^*),若a取(2)中確定的范圍內的最小整數，問數列{C_n}前多少項的和最大？試說明理由.

Answer 1

(1) b_n=2000() ，(2) 5(－1)<a<10， (3)前20項

(1)由題意知：a_n=n+,∴b_n=2000().
(2)∵函數y=2000()^x(0<a<10)遞減，
∴對每個自然數n,有b_n>b_n+1>b_n+2.
則以b_n,b_n+1,b_n+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是b_n+2+b_n+1>b_n,
即()²+()－1>0,
解得a<－5(1+)或a>5(－1) ∴5(－1)<a<10.
(3)∵5(－1)<a<10,∴a=7
∴b_n=2000() 數列{b_n}是一個遞減的正數數列，
對每個自然數n≥2,B_n=b_nB_n－1.
于是當b_n≥1時，B_n<B_n－1,當b_n<1時，B_n≤B_n－1,
因此數列{B_n}的最大項的項數n滿足不等式b_n≥1且b_n+1<1,
由b_n=2000()≥1得： n≤20.8. ∴n=20.