Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設直線l經過點P（3，

2

）且與x軸交于點F（2，0）．
（1）求直線l的方程．
（2）如果橢圓C經過點P，且以點F為它的一個焦點，求橢圓的標準方程．
（3）若在（1）、（2）的情況下，設直線l與橢圓的另一個交點為Q，且

PM

=λ•

PQ

，當|

OM

|取最小值時，求λ的對應值．

Answer 1

分析：（1）由兩點式方程能夠得到直線方程．                              
（2）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，依題意有：

9 a2 + 2 b2 =1 a2-4=b2

，解之得到所求橢圓方程．
（3）由

x2 12 + y2 8 =1 y= 2 (x-2)

消去y得，x²-3x=0，所以x=0或x=3，代回直線方程可得y=-2

2

，或y=

2

．由此能夠求出當|

OM

|取最小值時，λ的對應值．

解答：解：（1）直線方程為

y

x-2

=

2

1

，整理，得y=

2

(x-2)；                              
（2）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，（5分）
依題意有：

9 a2 + 2 b2 =1 a2-4=b2

，解之得

a2=12 b2=8

所求橢圓方程為：

x2

12

+

y2

8

=1…（8分）
（3）由

x2 12 + y2 8 =1 y= 2 (x-2)

消去y得，x²-3x=0，
所以，x=0或x=3，代回直線方程可得y=-2

2

，或y=

2

因此知Q(0，-2

2

)，P(3，

2

)，（10分）
由

PM

=λ•

PQ

知，點M在直線PQ上，
當|

OM

|最小時，OM⊥PQ，此時OM的方程為y=-

1

2

x（12分）
由

y= 2 (x-2) y=- 1 2 x

解得M(

4

3

，-

2 2

3

)，（14分）
代入

PM

=λ•

PQ

得λ=

5

9

所以，當|

OM

|最小時，λ=

5

9

．

點評：本題考查直線方程的求法、橢圓方程的求法和當|

OM

|取最小值時，求λ的對應值．解題時要注意兩點式方程的應用、橢圓性質的運用和分類討論思想的合理運用．