Question

已知f(x)＝x³＋x(x∈R)，

(1)判斷f(x)在(－∞，＋∞)上的單調性，并證明；

(2)求證：滿足f(x)＝a(a為常數)的實數x至多只有一個．

 

Answer 1

【答案】

(1) f(x)＝x³＋x在R上是增函數

(2)見解析

【解析】(1)解：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數．證明如下：

設x₁＜x₂，即x₁－x₂＜0.

∴f(x₁)－f(x₂)＝(＋x₁)－(＋x₂)

＝(－)＋(x₁－x₂)

＝(x₁－x₂)( ＋x₁x₂＋＋1)

＝(x₁－x₂)[(x₁＋)²＋＋1]＜0.

∴f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)．

因此f(x)＝x³＋x在R上是增函數．

(2)證明：假設x₁＜x₂且f(x₁)＝f(x₂)＝a，由f(x)在R上遞增，

∴f(x₁)＜f(x₂)，與f(x₁)＝f(x₂)矛盾．

∴原命題正確．

點評：利用定義判斷函數單調性時，通常將作差后的因式變形成因式連乘積的形式、平方和的形式等．在因式連乘積的形式中，一定含有因式“x₁－x₂”，這也是指導我們化簡的目標．差的符號是由自變量的取值范圍、假定的大小關系及符號的運算法則共同決定的．