Question

【題目】已知函數， .

（1）當在處的切線與直線垂直時，方程有兩相異實數根，求的取值范圍；

（2）若冪函數的圖象關于軸對稱，求使不等式在上恒成立的的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）方程有兩相異實數根等價于有兩個零點；（2）令，不等式在上恒成立，即求的最小值，

，對a分類討論研究函數的單調性，從而確定出函數的最值.

試題解析：

（Ⅰ）由題設可得，令,

則令得 ,

		0
	遞減	極小值	遞增

，

且 有兩個不等實根 即 .

（Ⅱ）由題設有，令，

則，令 ，則

又， ， 在在單調遞增，

又，

當，即時， ，

所以在內單調遞增， ，所以．

②當，即時，由在內單調遞增，

且，

使得，

		0
	遞減	極小值	遞增

所以的最小值為，

又，所以 ，

因此，要使當時， 恒成立，只需，即即可．

解得，此時由，可得．

以下求出a的取值范圍．

設， ， 得，

所以在上單調遞減，從而，

綜上①②所述， 的取值范圍．