Question

設a為實數，函數f（x）=x³-3ax²+a
（1）若a=1，求f（x）的單調區間
（2）求f（x）的在[1，+∞）上的極值
（3）若a＞0且關于x的方程f（x）=0在[-2，2]有三個不同的實數根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-3x²+1，得f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），令f′（x）＞0，f′（x）＜0，得x的取值范圍，即為f（x）的單調區間．
（2）由f（x）=x³-3ax²+a，得f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），令f′（x）＞0，f′（x）＜0，得x的取值范圍，列表得出f（x）的在[1，+∞）上的極值．
（3）由（1）（2）知f（x）的簡圖，由圖得出方程f（x）=0在[-2，2]有三個不同的實數根的充要條件，即不等式，解不等式求交集即得．

解答：解：（1）∵a=1時，f（x）=x³-3x²+1，∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令f′（x）＞0，得x＜0，或x＞2，令f′（x）＜0，得0＜x＜2，
∴a=1時，f（x）的單調區間為（-∞，0），（0，2），（2，+∞）
（2）∵f（x）=x³-3ax²+a，∴f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），∵x≥1
①當a≤

1

2

時，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）是單調遞增函數，無極值．
②當a＞

1

2

時，令f′（x）=0，得x=2a，令f′（x）＞0，得x＞2a，令f′（x）＜0，得1≤x＜2a，
∴f（x）的在[1，2a）上是減函數，在（2a，+∞）上是增函數，
∴f（x）的在[1，+∞）上有極小值為f（2a）=（2a）³-3a（2a）²+a=a-4a³，
（3））∵f（x）=x³-3ax²+a，∴f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），∵a＞0
令f′（x）＞0，得x＜0，或x＞2a，令f′（x）＜0，得0＜x＜2a，
∴f（x）在（-∞，0）（2a，+∞）上是增函數，在（0，2a）上是減函數．
∴f（x）的極大值為f（0）=a，極小值為f（2a）=a-4a³，
①∵方程f（x）=0有三個不同的實數根，
∴f（0）=a＞0，且f（2a）=a-4a³＜0∴a＞

1

2

②∵方程f（x）=0在[-2，2]有三個不同的實數根
∴2a＜2，且

f(2)≥0 f(-2)≤0

，∵f（2）=-11a+8，f（-2）=-11a-8，
∴a＜1，且-11a+8≥0，且-11a-8≤0，
∴-

8

11

≤a≤

8

11

由①②知，a的取值范圍為

1

2

＜a≤

8

11

點評：本題考查了用導數求單調區間、極值的方法，當導函數大于0，原函數為增函數，當導函數小于0，原函數為減函數；令導數為0得出x：x的左側導函數大于0，x的右側導函數小于0，則x為極大值；x的左側導函數小于0，x的右側導函數大于0，則x為極小值；利用數形結合，函數的思想，得出要求問題的不等式組，解得范圍．