Question

（2012•德陽二模）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA丄面ABCD，AB=AC，PA=AD=1，CD=2，BC=

2

，∠ADC=90°．
（1）求證：面PCD丄面PAD；
（2）求面PAB與面PCD所成的銳二面角．

Answer 1

分析：（1）由線面垂直的定義，得PA丄CD，結合DA丄CD，得到CD⊥平面PAD．再根據CD?平面PCD，結合面面垂直判定定理，得到平面PCD丄平面PAD；
（2）以D為原點，DA、DC所在直線為x、y軸，建立如圖空間直角坐標系．給出出A、C、P的坐標，并設B（x，y，0），利用距離公式解出x=1，y=2（舍負），得B（1，2，0）．再用垂直向量數量積為0的方法，分別得到平面PCD的法向量

m

和平面PAB的法向量

n

的坐標，利用向量的夾角公式得到

m

、

n

夾角的余弦，即得面PAB與面PCD所成的銳二面角大小．

解答：解：（1）∵PA丄平面ABCD，CD?面ABCD，∴PA丄CD
∵DA丄CD，PA、DA是平面PAD內的相交直線，∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，∴面PCD丄面PAD；
（2）以D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、y軸，建立如圖空間直角坐標系
則A（2，0，0），C（0，1，0），P（2，0，2），設B（x，y，0）
由AB=AC=

5

，BC=

2

，得

(x-2)2+y2=5 x2+(y-1)2=2

，解之得x=1，y=2（舍負），所以B（1，2，0）
∵

DC

=（0，1，0），

DP

=（2，0，2），
∴平面PCD的一個法向量

m

=（a，b，c），滿足

DC • m =b=0 DP • m =2a+2c=0

，
取a=1，得

m

=（1，0，-1）．
同理，得到平面PAB的一個法向量

n

=（2，1，0）
∵向量

m

、

n

的夾角滿足cos＜

m

，

n

＞=

2

2 × 5

=

10

5

∴面PAB與面PCD所成的銳二面角大小為arccos

10

5

．

點評：本題要四棱錐中求證面面垂直并求二面角平面角的大小，著重考查了空間垂直關系的證明和用空間向量求二面角大小的知識，屬于中檔題．