Question

已知（c>0），（n, n）（n∈R）, 的最小值為1，若動點P同時滿足下列三個條件：①，②（其中）；③動點P的軌跡C經過點B（0,－1）。
（1）求c值； （2）求曲線C的方程；（3）方向向量為的直線l與曲線C交于不同兩點M、N，若，求k的取值范圍。

Answer 1

(1),(2)曲線C的方程為：,
(3)的取值范圍是。

（1）法一，∵
                 
當時，                          
法二，由可知點G在直線y=x上
∴|FG|的最小值為點F到直線y=x的距離，即      （）
（2）由知 又
又（）∴∴點P在以F為焦點，為準線的橢圓上
設P(x,y)，則∵動點P的軌跡C經過點B(0,-1)且
∴從而b="1 " ∴曲線C的方程為：
（3）設直線的方程為
由     
∵與曲線C交于不同兩點，∴，即①
設的中點由則有BR⊥MN
∵K_MN=K_L=K∴（11分）由韋達定理有
∴∴MN的中點R₀坐標為（12分）又B（0，-1）
∴   ②
由①②聯立可得
即∴為R上的減函數
（3分）志求閉區間為[-1，1]
（2）（5分）（或∵）∴在R不可能恒為正式恒為負）
      
        
∴在R上不是單調函數，故不是閉函數
（3）在（0，）上是增函數
設[]（0，∞），  
即方程有兩個不相等的正根（12分）
于是
故的取值范圍是