Question

已知方程x²-kx+100=0，k∈C．
（1）若1+i是它的一個根，求k的值；
（2）若k∈N*，求滿足方程的所有虛數的和．

Answer 1

解：（1）設k=a+bi（a，b∈R），∵1+i是x²-kx+100=0的一個根，
∴（1+i）²-（a+bi）（1+i）+100=0，∴b-a+100+（2-a-b）i=0，
∴，解得a=51，b=-49，∴k=51-49i，
（2）∵方程x²-kx+100=0有虛根，∴△=k²-4×100＜0，解得-20＜k＜20，
∴k∈N*，∴k=1，2，3…19，
又∵虛根是成對出現的，∴所有的虛根之和為1+2+…+19=190．
分析：（1）先設出k的代數形式，把1+i代入所給的方程，化簡后由實部和虛部對應相等進行求值；
（2）由方程由虛根的條件△＜0，求出k的所有的取值，再由方程虛根成對出現的特點，求出所有虛根之和．
點評：本題是復數的綜合題，考查了復數相等條件的應用，方程有虛根的等價條件，以及方程中虛根的特點．